► Главная страница. ► Почему стратегическое планирование с большим трудом пробивает дорогу на местном уровне?
► Пройти тест. Дам балы
► Я тут поступил в тех. 1 курс на профессию Киповец , Слесарь КиПиА
► Помогите с Правом , срочно!!
► Как поступить в данной ситуации?
► Контакты
Решить предел. Второй замечательный предел
Наташа Хлынцева
Решить предел. Второй замечательный предел
Решить с помощью второго замечательного предела. Желательно подробно. Заранее спасибо
Ответы:
Папа
Тут, наверное, в ряды лучше разложить числитель и знаменатель. До второго члена, т.к. третий и далее будут поглощены вторым, а первый должен сократиться.
tg x ≈ x (1 + x²/3)
cos 2x ≈ 1 - (2x)²/2 = 1 - 2x²
cos 5x ≈ 1 - (5x)²/2 = 1 - 25x²/2
tg x cos 2x ≈ x (1 - 5x²/3)
tg x cos 5x ≈ x (1 - 73x²/6) Потом выделяем из числителя слагаемое, кратное знаменателю, чтобы получить выражение вида (1 + t)¹ᐟᵗ 1 + x - 5x³/3 = 1 + x - 73x³/6 + 63x³/6
(1 + x - 5x³/3) / (1 + x - 73x³/6) = 1 + 21x³/(2(1 + x - 73x³/6)) В знаменателе нам уже не нужен x ни в каких степенях, т.к. они складываются с константой, и в итоге предел знаменателя равен двум. Поэтому основание степени приобретает такой вид: 1 + 21x³/2 Далее - замена переменной: t = 21x³/2
x → 0 => t → 0
x = ∛(2t/21)
x³ = 2t/21
1/x³ = 21/(2t) = (1/t) × (21/2)
lim(1 + t)⁽¹ᐟᵗ⁾⁽²¹ᐟ²⁾ = e²¹ᐟ² = √e²¹ ≈ 36315.502674
x→0 Это и есть ответ.
Можно было пойти другим путём - раскрыть косинусы кратных углов: cos 2x = cos²x - sin²x
cos 5x = cos 3x cos 2x - sin 3x sin 2x
cos 3x = 4 cos³x - 3 cos x
sin 3x = 3 sin x - 4 sin³ x
sin 2x = 2 sin x cos x Но я думаю, тут началась бы такая чехарда со степенями, что это надо было бы неделю решать, а пришло бы к тем же самым рядам относительно x, т.к. в показателе степени нет никакой тригонометрии.
Леонид Фурсов
JND. 
en gros
lim {[1+(tgx)*(cos2x)] / [1+(tgx)*(cos5x)]}^(1/x^3)=
=lim {[1+(tgx)*[1-(sin2x)^2]^1/2] / [1+(tgx)*(1-(sin5x)^2]^1/2}^(1/x^3)=
(тригонометрические бесконечно малые заменяем на эквивалентные алгебраические бесконечно малые)
=lim{[1+x*(1-4x^2)^1/2] / [1+x*(1-25x^2)^1/2]}^(1/x^3)
по теореме о проделах имеем:
lim[Q(x)/P(x)]^(1/x^3)=lim[Q(x)^(1/x^3)] / lim[P(x)^(1/x^3)
выбираем способ тождественного преобразования показателя степени применительно к числителю Q(x)
1/x^3=[(x^2)*(1-4x^2)^1/2] / [(x^3)*(x^2)*(1-4x^2)^1/2]
То есть домножили числитель и знаменатель показателя (1/x^3) на одно и то же выражение(x^2)*(1-4x^2)^1/2. Получили показатель в виде
[1 / х*(1-4x^2)^1/2]*[(1-4x^2)^1/2]/x^2
здесь первый сомножитель в сочетании с Q(x) дает второй замечательный предел, то есть
lim Q(x)^(1/x^3)=e^[(1-4x^2)^1/2]/x^2 (1)
Точно так же преобразовываем показатель (1/x^3) применительно к знаменателю P(x) и снова получаем второй замечательный предел - теперь уже в знаменателе
lim P(x)^(1/x^3)=lim e^[(1-25x^2)^1/2]/x^2 (2)
(1) и (2) представляем в виде
lim e^{[(1-4x^2)^1/2 / x^2] - [(1-25x^2)^1/2 / x^2}]}
Приводим показатель к общему знаменателю. Домножаем числитель и знаменатель показателя на [(1-4x^2)^1/2] + [(1-25x^2)^1/2]. В числителе показателя получили разность квадратов. Раскрываем скобки, приводим подобные Получили
lim[Q(x)/P(x)]^(1/x^3)=lim e^{21 / [(1-4x^2) + (1-25x^2)]}
Переходя к пределу при х->0, получаем
lim[(1+tgx*cos2x) / (1+tgx*cos5x)]^(1/x^3)=e^21/2