В какой точке касательная к параболе y = x^2 образует с прямой 3x − y + 1 = 0 угол 45◦

 Екатерина Протасова
В какой точке касательная к параболе y = x^2 образует с прямой 3x − y + 1 = 0 угол 45◦

Ответы:

Centurio
Уравнение касательной y=k*x+b или k*x-y+b=0 Угол между прямыми равен также углу между векторами нормали к этим прямым. Из уравнений прямых определяем координаты векторов нормали: (3; -1) и (k; -1) Из скалярного произведения векторов cos(45) = (3*k+(-1)*(-1))/V((3^2+(-1)^2)*(k^2+(-1)^2)), где V - знак корня. V2/2 = (3k+1)/V(10*(k^2+1)) V((10*(k^2+1)/2) = 3k+1 5*(k^2+1) = (3k+1)^2 5*k^2+5 = 9*k^2+6k+1 4*k^2+6*k-4 = 0 Решая это квадратное уравнение, получаем k=-2 и k=0,5 Производная от заданного уравнения параболы y' = 2x, она равна коэффициенту в уравнении касательной. Следовательно, 2x=-2 и 2x = 0,5, отсюда х = -1 и х = 0,25 y(-1) = (-1)^2 = 1 y(0,25) = 0,25^2 = 0,0625 То есть будут две касательные, которые образуют с заданной прямой угол 45 градусов в точках (-1; 1) и (0,25; 0,0625)